Народный артист СССР, лауреат Государственной премии России. Окончил Ленинградское хоровое училище имени Глинки и Ленинградскую консерваторию, по двум факультетам: как хоровой дирижер у проф. Е. Кудрявцевой и как теоретик у проф. Ю. Тюлина. Аспирантуру окончил по специальности симфоническое дирижирование в классе проф. Н. Рабиновича. Лауреат II Всесоюзного конкурса дирижеров (1966).

С 1961 по 1971 г. — дирижер Симфонического оркестра Карельского радио и телевидения. В 1968–1969 гг. — стажер Венской академии музыки и исполнительского искусства у Г. Сваровского и К. Остеррайхера, затем стажер в Заслуженном коллективе Республики под руководством Е. Мравинского.
С 1971 года — главный дирижер Малого театра оперы и балета. С 1977 года — главный дирижер Академического симфонического оркестра Филармонии, сотрудничество с которым продолжается тридцать лет. Параллельно в 1990–1998 гг. возглавлял Симфонический оркестр Ставангера (Норвегия) и до 1992 года вел класс симфонического дирижирования в Ленинградской консерватории.

На афишах А. Дмитриева — сочинения практически всех эпох и стилей. В репертуаре дирижера — программы из сочинений американских и скандинавских композиторов, русская музыка рубежа XIX–XX веков, симфоническая классика XX века. Благодаря главному дирижеру дискография коллектива пополнилась записями всех симфоний Бетховена и Шуберта, сочинений Чайковского и Рахманинова, Равеля и Бриттена. Оркестр гастролировал в России, странах Европы, Азии, Америки.